与えられた3つの極限を計算する問題です。ただし、$a$は定数です。 (1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x-a}{x^2 - 1}$ (2) $\lim_{x \to 1-0} \frac{x-a}{x^2 - 1}$ (3) $\lim_{x \to 1} \frac{x-a}{x^2 - 1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を計算する問題です。ただし、$a$は定数です。

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x-a}{x^2 - 1}$

(2) $\lim_{x \to 1-0} \frac{x-a}{x^2 - 1}$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{x-a}{x^2 - 1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x-a}{x^2 - 1}$

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$と因数分解できます。$x \to 1+0$なので、$x > 1$であり、$x-1$は正の数で0に近づきます。$x+1$は2に近づきます。

したがって、$x^2 - 1$は正の数で0に近づきます。

$x-a$は$1-a$に近づきます。

もし$1-a > 0$つまり$a < 1$のとき、$\lim_{x \to 1+0} \frac{x-a}{x^2 - 1} = +\infty$

もし$1-a < 0$つまり$a > 1$のとき、$\lim_{x \to 1+0} \frac{x-a}{x^2 - 1} = -\infty$

もし$1-a = 0$つまり$a = 1$のとき、

$\lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1+0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x \to 1-0} \frac{x-a}{x^2 - 1}$

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$と因数分解できます。$x \to 1-0$なので、$x < 1$であり、$x-1$は負の数で0に近づきます。$x+1$は2に近づきます。

したがって、$x^2 - 1$は負の数で0に近づきます。

$x-a$は$1-a$に近づきます。

もし$1-a > 0$つまり$a < 1$のとき、$\lim_{x \to 1-0} \frac{x-a}{x^2 - 1} = -\infty$

もし$1-a < 0$つまり$a > 1$のとき、$\lim_{x \to 1-0} \frac{x-a}{x^2 - 1} = +\infty$

もし$1-a = 0$つまり$a = 1$のとき、

$\lim_{x \to 1-0} \frac{x-1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1-0} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1-0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{x-a}{x^2 - 1}$

もし$a \neq 1$のとき、$\lim_{x \to 1+0} \frac{x-a}{x^2 - 1}$と$\lim_{x \to 1-0} \frac{x-a}{x^2 - 1}$は異なるので、極限は存在しません。

もし$a = 1$のとき、

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$a < 1$のとき、$\infty$

$a > 1$のとき、$-\infty$

$a = 1$のとき、$\frac{1}{2}$

(2)

$a < 1$のとき、$-\infty$

$a > 1$のとき、$\infty$

$a = 1$のとき、$\frac{1}{2}$

(3)

$a = 1$のとき、$\frac{1}{2}$

$a \neq 1$のとき、極限は存在しない