与えられた3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$ (3) $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+2}}{x-2}$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$

(3) $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+2}}{x-2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ を求める。

分子に $\sqrt{x+3}+2$ を掛けて分母にも同じものを掛ける（有理化）。

\begin{align*}

\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} &= \lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} \\

&= \lim_{x\to 1} \frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} \\

&= \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} \\

&= \lim_{x\to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3}+2} \\

&= \frac{1}{\sqrt{1+3}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} \\

&= \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}

\end{align*}

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$ を求める。

分母に $\sqrt{x+1}+1$ を掛けて分子にも同じものを掛ける（有理化）。

\begin{align*}

\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} &= \lim_{x\to 0} \frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(x+1)-1} \\

&= \lim_{x\to 0} \frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{x} \\

&= \lim_{x\to 0} (\sqrt{x+1}+1) \\

&= \sqrt{0+1}+1 = 1+1 = 2

\end{align*}

(3) $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+2}}{x-2}$ を求める。

分子に $\sqrt{2x}+\sqrt{x+2}$ を掛けて分母にも同じものを掛ける（有理化）。

\begin{align*}

\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+2}}{x-2} &= \lim_{x\to 2} \frac{(\sqrt{2x}-\sqrt{x+2})(\sqrt{2x}+\sqrt{x+2})}{(x-2)(\sqrt{2x}+\sqrt{x+2})} \\

&= \lim_{x\to 2} \frac{2x-(x+2)}{(x-2)(\sqrt{2x}+\sqrt{x+2})} \\

&= \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{2x}+\sqrt{x+2})} \\

&= \lim_{x\to 2} \frac{1}{\sqrt{2x}+\sqrt{x+2}} \\

&= \frac{1}{\sqrt{2(2)}+\sqrt{2+2}} = \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{4}} \\

&= \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $2$

(3) $\frac{1}{4}$