与えられた極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x$

2. 解き方の手順

この極限は自然対数の底 $e$ の定義に関係しています。

$y = (1 + \frac{a}{x})^x$ と置きます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln (1 + \frac{a}{x})^x$

$\ln y = x \ln (1 + \frac{a}{x})$

$x \to \infty$ のとき、 $\frac{a}{x} \to 0$ なので、$\ln (1 + \frac{a}{x})$ は0に近づきます。

この時、$\ln (1+z) \approx z$ for $z \to 0$ という近似を使うことができます。

$\ln y \approx x \cdot \frac{a}{x} = a$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = a$

両辺を指数関数で累乗すると

$e^{\lim_{x \to \infty} \ln y} = e^a$

$\lim_{x \to \infty} e^{\ln y} = e^a$

$\lim_{x \to \infty} y = e^a$

3. 最終的な答え

$e^a$