関数 $y = (\cosh x)^x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (\cosh x)^x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y = (\cosh x)^x$ の微分を求めるためには、まず両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln((\cosh x)^x) = x \ln(\cosh x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\cosh x) + x \frac{d}{dx} \ln(\cosh x)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\cosh x) + x \frac{1}{\cosh x} \frac{d}{dx} \cosh x$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\cosh x) + x \frac{1}{\cosh x} \sinh x$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\cosh x) + x \tanh x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(\cosh x) + x \tanh x)$

$y = (\cosh x)^x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = (\cosh x)^x (\ln(\cosh x) + x \tanh x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\cosh x)^x (\ln(\cosh x) + x \tanh x)$