問題は、$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x}$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、式を次のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot x \sin(1/x)$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であるから、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ が成り立ちます。

次に、$x \to 0$ のとき、$\sin(1/x)$ は $-1$ から $1$ の間の値を振動しますが、有界です。したがって、$x \to 0$ のとき、$\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$ となります。なぜなら、$-|x| \le x \sin(1/x) \le |x|$ であり、$\lim_{x \to 0} |x| = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ なので、はさみうちの原理から $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 1 \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

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