ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ と $\vec{b} = (1, -1, 0)$ の両方に垂直な単位ベクトルをすべて求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ と $\vec{b} = (1, -1, 0)$ の両方に垂直な単位ベクトルをすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトル $\vec{n}$ を求める。$\vec{n}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積として計算できます。

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0) - (3)(-1) \\ (3)(1) - (2)(0) \\ (2)(-1) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$

(2) ベクトル $\vec{n}$ の大きさを求める。

$|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

(3) 単位ベクトルを求める。$\vec{n}$ と同じ方向の単位ベクトル $\vec{e_1}$ は以下のように計算できます。

$\vec{e_1} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{1}{3\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix}$

(4) $\vec{n}$ と逆向きの単位ベクトル $\vec{e_2}$ を求める。

$\vec{e_2} = -\vec{e_1} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

求める単位ベクトルは以下の2つです。

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix}$