次の関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形をかけ。ただし、$0 \le x \le \pi$ とする。 $y = x + \sin 2x$

1. 問題の内容

次の関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形をかけ。ただし、$0 \le x \le \pi$ とする。

$y = x + \sin 2x$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、増減を調べるための情報を得る。

$y' = 1 + 2\cos 2x$

$y'' = -4\sin 2x$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$1 + 2\cos 2x = 0$

$\cos 2x = -\frac{1}{2}$

$0 \le x \le \pi$ より $0 \le 2x \le 2\pi$ であるから、

$2x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

次に、$y'' = 0$ となる $x$ を求める。

$-4\sin 2x = 0$

$\sin 2x = 0$

$0 \le x \le \pi$ より $0 \le 2x \le 2\pi$ であるから、

$2x = 0, \pi, 2\pi$

$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$

増減表を書く。

| x | 0 | ... | π/3 | ... | π/2 | ... | 2π/3 | ... | π |

| ------- | --- | --------- | --- | -------- | --- | --------- | ---- | ---- | --- |

| y' | 3 | + | 0 | - | -1 | - | 0 | + | 3 |

| y'' | 0 | - | -√3 | - | 0 | + | √3 | + | 0 |

| y | 0 | ↗凸 | π/3+√3/2 | ↘凸 | π/2 | ↘凹 | 2π/3-√3/2 | ↗凹 | π |

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき極大値 $y = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき極小値 $y = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

変曲点は $(0, 0), (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), (\pi, \pi)$

3. 最終的な答え

極大値: $x = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

極小値: $x = \frac{2\pi}{3}$ のとき $y = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

変曲点: $(0, 0), (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), (\pi, \pi)$