$\sum_{k=1}^{n-1} (5k - 7)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n-1} (5k - 7)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して、式を分割します。

$$\sum_{k=1}^{n-1} (5k - 7) = \sum_{k=1}^{n-1} 5k - \sum_{k=1}^{n-1} 7$$

次に、定数倍のシグマを計算します。

$$= 5 \sum_{k=1}^{n-1} k - 7 \sum_{k=1}^{n-1} 1$$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$ を用いて、式を書き換えます。

$$= 5 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - 7(n-1)$$

式を整理します。

$$= \frac{5n(n-1)}{2} - 7(n-1)$$

$$= \frac{5n^2 - 5n}{2} - 7n + 7$$

$$= \frac{5n^2 - 5n - 14n + 14}{2}$$

$$= \frac{5n^2 - 19n + 14}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{5n^2 - 19n + 14}{2}$