関数 $y = 2(x+1)^2 + c + 2$ （ただし、$0 \le x \le 2$）の最大値が 8 であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2(x+1)^2 + c + 2$ （ただし、$0 \le x \le 2$）の最大値が 8 であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数は、$y = 2(x+1)^2 + c + 2$ です。

$0 \le x \le 2$ の範囲におけるこの関数の最大値を求めます。

まず、関数を展開します。

$y = 2(x^2 + 2x + 1) + c + 2 = 2x^2 + 4x + 2 + c + 2 = 2x^2 + 4x + c + 4$

この関数は下に凸な放物線です。軸は $x = -1$ です。

$0 \le x \le 2$ の範囲では、$x$ が大きくなるほど $y$ の値も大きくなります。

したがって、$x = 2$ のときに最大値をとります。

$x = 2$ を代入すると、

$y = 2(2+1)^2 + c + 2 = 2(3)^2 + c + 2 = 2(9) + c + 2 = 18 + c + 2 = 20 + c$

または、$x=2$を$y = 2x^2 + 4x + c + 4$に代入すると

$y = 2(2)^2 + 4(2) + c + 4 = 8 + 8 + c + 4 = 20 + c$

問題文より、この最大値が 8 であるので、

$20 + c = 8$

$c = 8 - 20$

$c = -12$

3. 最終的な答え

$c = -12$