## 極限の問題

## 極限の問題

与えられた極限の計算問題は、以下の６つです。

(1) $\lim_{x \to -2+0} \frac{1}{x+2}$

(2) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{x+2}$

(3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{\sqrt{x-1}}$

(4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{1}{\sqrt{x-1}}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|}$

## 解き方の手順

各問題について、極限を計算する手順を説明します。

(1) $\lim_{x \to -2+0} \frac{1}{x+2}$

$x$ が $-2$ に正の方向から近づくとき、$x+2$ は正の方向に $0$ に近づきます。したがって、$\frac{1}{x+2}$ は正の無限大に発散します。

(2) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{x+2}$

$x$ が $-2$ に負の方向から近づくとき、$x+2$ は負の方向に $0$ に近づきます。したがって、$\frac{1}{x+2}$ は負の無限大に発散します。

(3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{\sqrt{x-1}}$

$x$ が $1$ に正の方向から近づくとき、$x-1$ は正の方向に $0$ に近づきます。したがって、$\sqrt{x-1}$ も正の方向に $0$ に近づきます。よって、$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ は正の無限大に発散します。

(4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{1}{\sqrt{x-1}}$

$x$ が $1$ に負の方向から近づくとき、$x-1$ は負の値になります。したがって、$\sqrt{x-1}$ は実数ではなくなり、定義されません。よって、この極限は存在しません。

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$

絶対値 $|x|$ の定義を考慮すると、

$x > 0$ のとき、$|x| = x$ なので、$\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、$\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$

したがって、右からの極限は $1$ であり、左からの極限は $-1$ です。両者が一致しないため、$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ は存在しません。

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|}$

$x$ が $0$ に近づくとき、$|x|$ は正の方向に $0$ に近づきます。したがって、$\frac{1}{|x|}$ は正の無限大に発散します。

## 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -2+0} \frac{1}{x+2} = \infty$

(2) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{x+2} = -\infty$

(3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{\sqrt{x-1}} = \infty$

(4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{1}{\sqrt{x-1}}$ は存在しない

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ は存在しない

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|} = \infty$