以下の4つの積分を計算する問題です。ただし、$t = ax + b$ とおく置換積分を利用し、公式15.1を用いることが指示されています。 (1) $\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx$ (2) $\int (x+1)(2x+3)^2 dx$ (3) $\int (x-1)\sqrt{x+2} dx$ (4) $\int \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの積分を計算する問題です。ただし、$t = ax + b$ とおく置換積分を利用し、公式15.1を用いることが指示されています。

(1) $\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx$

(2) $\int (x+1)(2x+3)^2 dx$

(3) $\int (x-1)\sqrt{x+2} dx$

(4) $\int \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx$

$t = 4-x$ とおくと、$x = 4-t$、$dx = -dt$ となります。

積分は

$\int \frac{(4-t)+2}{t^3} (-dt) = \int \frac{t-6}{t^3} dt = \int (t^{-2} - 6t^{-3}) dt$

$= -t^{-1} - 6 \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{t} + \frac{3}{t^2} + C = -\frac{1}{4-x} + \frac{3}{(4-x)^2} + C = \frac{x-1}{(4-x)^2} + C$

(2) $\int (x+1)(2x+3)^2 dx$

$t = 2x+3$ とおくと、$x = \frac{t-3}{2}$、$dx = \frac{1}{2}dt$ となります。

積分は

$\int (\frac{t-3}{2} + 1) t^2 (\frac{1}{2}dt) = \int (\frac{t-1}{2}) t^2 (\frac{1}{2}dt) = \frac{1}{4} \int (t^3 - t^2) dt$

$= \frac{1}{4} (\frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3}) + C = \frac{1}{16} (2x+3)^4 - \frac{1}{12} (2x+3)^3 + C = \frac{1}{48} (2x+3)^3 (3(2x+3) - 4) + C = \frac{1}{48} (2x+3)^3 (6x+5) + C$

(3) $\int (x-1)\sqrt{x+2} dx$

$t = x+2$ とおくと、$x = t-2$、$dx = dt$ となります。

積分は

$\int ((t-2)-1)\sqrt{t} dt = \int (t-3)\sqrt{t} dt = \int (t^{3/2} - 3t^{1/2}) dt$

$= \frac{t^{5/2}}{5/2} - 3 \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5} t^{5/2} - 2 t^{3/2} + C = \frac{2}{5} (x+2)^{5/2} - 2 (x+2)^{3/2} + C = \frac{2}{5} (x+2)^{3/2} (x+2 - 5) + C = \frac{2}{5} (x+2)^{3/2} (x-3) + C$

(4) $\int \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$

$t = 1-3x$ とおくと、$x = \frac{1-t}{3}$、$dx = -\frac{1}{3} dt$ となります。

積分は

$\int \frac{3(\frac{1-t}{3})}{\sqrt{t}} (-\frac{1}{3} dt) = -\frac{1}{3} \int \frac{1-t}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{3} \int (t^{-1/2} - t^{1/2}) dt$

$= -\frac{1}{3} (2t^{1/2} - \frac{2}{3} t^{3/2}) + C = -\frac{2}{3} t^{1/2} + \frac{2}{9} t^{3/2} + C = -\frac{2}{3} (1-3x)^{1/2} + \frac{2}{9} (1-3x)^{3/2} + C = \frac{2}{9} (1-3x)^{1/2} ( (1-3x) - 3) + C = \frac{2}{9} (1-3x)^{1/2} (-3x-2) + C = -\frac{2}{9} \sqrt{1-3x} (3x+2) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-1}{(4-x)^2} + C$

(2) $\frac{1}{48} (2x+3)^3 (6x+5) + C$

(3) $\frac{2}{5} (x+2)^{3/2} (x-3) + C$

(4) $-\frac{2}{9} \sqrt{1-3x} (3x+2) + C$