問題は2つあります。 1つ目は、極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める問題です。 2つ目は、$n$ が奇数のときの $\sin x$ の級数展開が与えられており、それを用いて $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目は、極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める問題です。

2つ目は、$n$ が奇数のときの $\sin x$ の級数展開が与えられており、それを用いて $\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

$\lim_{x \to +\infty} x \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ は、$\infty \cdot 0$ の不定形であるため、変形してロピタルの定理を使用します。

まず、式を以下のように変形します。

$\lim_{x \to +\infty} x \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)}{\frac{1}{x}}$

この式は、$\frac{0}{0}$ の不定形になりました。ロピタルの定理を適用します。分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

$\frac{d}{dx} \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{d}{dx} \left[ \log(x-1) - \log(x+1) \right] = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2-1}$

分母の微分:

$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$

したがって、

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x^2-1}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{-(x^2-1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{-x^2+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{-1 + \frac{1}{x^2}} = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3}$ の計算

与えられた級数展開において、$x = \frac{1}{3}$ です。小数第4位まで求めるので、$n$ をいくつか試して、誤差項 $\frac{\sin(\theta x + \frac{n \pi}{2}) \cdot x^n}{n!}$ が十分小さくなるようにします。

まず、最初の数項を計算します。

$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell + 1)!} x^{2\ell + 1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$

$n=3$ のとき、$\sin x = \frac{(-1)^0}{1!} x^1 + \frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{3!} x^3 = x + \frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{6} x^3$

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3}$ となり、誤差項は $\frac{\sin(\theta/3 + \frac{3\pi}{2})}{6} (\frac{1}{3})^3 = \frac{\sin(\theta/3 + \frac{3\pi}{2})}{6 \cdot 27} \approx \pm \frac{1}{162} \approx \pm 0.00617$

$n=5$ のとき、$\sin x = \frac{(-1)^0}{1!} x^1 + \frac{(-1)^1}{3!} x^3 + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{5!} x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{120} x^5$

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6 \cdot 27} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} = \frac{54-1}{162} = \frac{53}{162} \approx 0.32716$

誤差項は $\frac{\sin(\theta/3 + \frac{5\pi}{2})}{120} (\frac{1}{3})^5 = \frac{\sin(\theta/3 + \frac{5\pi}{2})}{120 \cdot 243} \approx \pm \frac{1}{29160} \approx \pm 0.000034$

$n=7$ のとき、$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{7!} + ...$

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \frac{1}{120} \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{120 \cdot 243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} \approx 0.32716049 - 0.0000343 \approx 0.3272$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$

$\sin(1/3) \approx 0.32719469...$ なので、$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$ が小数第4位まで正しい値です。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$