与えられた積分 $\int \sqrt{3x-2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sqrt{3x-2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 3x-2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 3$ より、$dx = \frac{1}{3}du$ となります。

したがって、積分は

$\int \sqrt{3x-2} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3}du = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du$

となります。

次に、$\int u^{\frac{1}{2}} du$ を計算します。

$\int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C$

よって、

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9}u^{\frac{3}{2}} + C$

最後に、$u = 3x-2$ を代入すると、

$\frac{2}{9}(3x-2)^{\frac{3}{2}} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\int \sqrt{3x-2} dx = \frac{2}{9}(3x-2)^{\frac{3}{2}} + C$