はい、承知いたしました。画像にある定積分の問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。画像にある定積分の問題を解いていきます。

問題数が多いため、ここでは問題(1)〜(3)を解きます。

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1. 問題の内容**

次の定積分を求めます。

(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x^3}{(1-x)^2} dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{1+\cos x} dx$

(3) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx$

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2. 解き方の手順**

**(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x^3}{(1-x)^2} dx$**

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x^3}{(1-x)^2} = \frac{x^3}{x^2-2x+1}$

多項式の割り算を行うと、

$\frac{x^3}{x^2-2x+1} = x+2 + \frac{3x-2}{x^2-2x+1} = x+2 + \frac{3x-2}{(x-1)^2}$

さらに、$\frac{3x-2}{(x-1)^2}$を部分分数分解します。

$\frac{3x-2}{(x-1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2}$

$3x-2 = A(x-1) + B$

$3x-2 = Ax - A + B$

係数を比較すると、$A=3$、$-A+B = -2$ より、$B = 1$

したがって、$\frac{3x-2}{(x-1)^2} = \frac{3}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}$

よって、

$\frac{x^3}{(1-x)^2} = x+2 + \frac{3}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}$

定積分は

$\int_{-1}^{0} \frac{x^3}{(1-x)^2} dx = \int_{-1}^{0} (x+2 + \frac{3}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}) dx$

$= [\frac{x^2}{2} + 2x + 3\ln|x-1| - \frac{1}{x-1}]_{-1}^{0}$

$= (0 + 0 + 3\ln(1) - \frac{1}{-1}) - (\frac{1}{2} - 2 + 3\ln(2) - \frac{1}{-2})$

$= 1 - (\frac{1}{2} - 2 + 3\ln(2) + \frac{1}{2})$

$= 1 - (1 - 2 + 3\ln(2))$

$= 2 - 3\ln(2)$

**(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{1+\cos x} dx$**

$\sin^3 x = \sin x (1-\cos^2 x)$ より

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{1+\cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x (1-\cos^2 x)}{1+\cos x} dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x (1-\cos x)(1+\cos x)}{1+\cos x} dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x (1-\cos x) dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \sin x \cos x) dx$

$= [-\cos x + \frac{1}{2}\cos^2 x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (-\cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2}\cos^2(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0) + \frac{1}{2}\cos^2(0))$

$= (0 + 0) - (-1 + \frac{1}{2})$

$= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

**(3) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx$**

$u = e^x+1$ と置換すると、$du = e^x dx$

$x: 0 \rightarrow 1$ のとき、$u: e^0+1 = 2 \rightarrow e^1+1 = e+1$

$\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx = \int_{2}^{e+1} \frac{1}{u^2} du$

$= [-\frac{1}{u}]_{2}^{e+1}$

$= -\frac{1}{e+1} - (-\frac{1}{2})$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{e+1}$

$= \frac{e+1-2}{2(e+1)} = \frac{e-1}{2(e+1)}$

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3. 最終的な答え**

(1) $2 - 3\ln(2)$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{e-1}{2(e+1)}$