問題3(1)について、関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ の $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

問題3(1)について、関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ の $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、増減表を作成し、最大値と最小値を特定する。

(1) 関数の定義域を確認する。今回は $1 \le x \le 3$ なので、$\log x$ および $x^2$ は定義されている。

(2) $y$ を $x$ で微分する。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \log x \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x - 2x \log x}{x^4} = \frac{1 - 2 \log x}{x^3}$

(3) $y'=0$ となる $x$ を求める。

$1 - 2 \log x = 0$

$2 \log x = 1$

$\log x = \frac{1}{2}$

$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

(4) 増減表を作成する。$1 \le x \le 3$ であり、$x = \sqrt{e}$ のとき $y' = 0$ となる。ここで、$e \approx 2.718$ なので、$\sqrt{e} \approx \sqrt{2.718} \approx 1.649$ となり、$1 \le \sqrt{e} \le 3$ を満たす。

| $x$ | 1 | ... | $\sqrt{e}$ | ... | 3 |

|---|---|---|---|---|---|

| $y'$ | + | + | 0 | - | - |

| $y$ | 0 | 増加 | 極大 | 減少 | $\frac{\log 3}{9}$ |

$x=1$ のとき、$y = \frac{\log 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$

$x = \sqrt{e}$ のとき、$y = \frac{\log \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{e} = \frac{1}{2e}$

$x=3$ のとき、$y = \frac{\log 3}{3^2} = \frac{\log 3}{9}$

(5) 極大値と区間の端点の値を比較して最大値と最小値を求める。

$y(1) = 0$

$y(\sqrt{e}) = \frac{1}{2e} \approx \frac{1}{2 \times 2.718} \approx 0.184$

$y(3) = \frac{\log 3}{9} \approx \frac{1.099}{9} \approx 0.122$

したがって、最大値は $x = \sqrt{e}$ のとき $y = \frac{1}{2e}$ であり、最小値は $x = 1$ のとき $y = 0$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{2e}$ ($x = \sqrt{e}$のとき)

最小値: $0$ ($x = 1$のとき)