定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

**問題9** を解きます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を用いて不定積分を求めます。

$u = \sin x$ と置くと、$du = \cos x \, dx$ となります。

したがって、不定積分は

$$\int \sin^2 x \cos x \, dx = \int u^2 \, du = \frac{1}{3} u^3 + C = \frac{1}{3} \sin^3 x + C$$

となります。

次に、定積分を計算します。

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx = \left[ \frac{1}{3} \sin^3 x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3} \sin^3 \left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{3} \sin^3 \left(-\frac{\pi}{2}\right)$$

ここで、$\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ であり、$\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$ であるので、

$$= \frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{3} (-1)^3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$