定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x^3}{1+x^2} dx$ を計算します。

承知しました。問題の中から(5) $\int_{1}^{2} \frac{x^3}{1+x^2} dx$ を解きます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x^3}{1+x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^3 = x(x^2+1) - x$ より、

$$\frac{x^3}{1+x^2} = \frac{x(x^2+1)-x}{1+x^2} = x - \frac{x}{1+x^2}$$

したがって、

$$\int_{1}^{2} \frac{x^3}{1+x^2} dx = \int_{1}^{2} (x - \frac{x}{1+x^2}) dx = \int_{1}^{2} x dx - \int_{1}^{2} \frac{x}{1+x^2} dx$$

ここで、$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$ であるから、

$$\int_{1}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

また、$t = 1+x^2$ と置換すると、$dt = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} dt$。

$x=1$ のとき $t=2$, $x=2$ のとき $t=5$ であるから、

$$\int_{1}^{2} \frac{x}{1+x^2} dx = \int_{2}^{5} \frac{1}{t} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \left[ \ln |t| \right]_{2}^{5} = \frac{1}{2} (\ln 5 - \ln 2) = \frac{1}{2} \ln \frac{5}{2}$$

したがって、

$$\int_{1}^{2} \frac{x^3}{1+x^2} dx = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{5}{2} = \frac{1}{2} (3 - \ln \frac{5}{2})$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (3 - \ln \frac{5}{2})$

または

$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{5}{2}$