次の定積分を求めます。 (1) $\int_{-1}^{0} \frac{x^3}{(1-x)^2} dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{1+\cos x} dx$ (3) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx$ (4) $\int_{0}^{1} x\sqrt{1+x^2} dx$ (5) $\int_{1}^{2} \frac{x^3}{1+x^2} dx$ (6) $\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}}{x-5} dx$ (7) $\int_{-2}^{2} (1+x^2)(x-3) dx$ (8) $\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$ (9) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x dx$

承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x^3}{(1-x)^2} dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{1+\cos x} dx$

(3) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx$

(4) $\int_{0}^{1} x\sqrt{1+x^2} dx$

(5) $\int_{1}^{2} \frac{x^3}{1+x^2} dx$

(6) $\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}}{x-5} dx$

(7) $\int_{-2}^{2} (1+x^2)(x-3) dx$

(8) $\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$

(9) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x^3}{(1-x)^2} dx$

$t = 1-x$ と置換すると、$x = 1-t$、$dx = -dt$ となります。

積分範囲は $x=-1$ のとき $t=2$、$x=0$ のとき $t=1$ となるので、

$\int_{2}^{1} \frac{(1-t)^3}{t^2}(-dt) = \int_{1}^{2} \frac{1-3t+3t^2-t^3}{t^2} dt$

$= \int_{1}^{2} (\frac{1}{t^2} - \frac{3}{t} + 3 - t) dt$

$= [-\frac{1}{t} - 3\ln|t| + 3t - \frac{1}{2}t^2]_{1}^{2}$

$= (-\frac{1}{2} - 3\ln 2 + 6 - 2) - (-1 - 3\ln 1 + 3 - \frac{1}{2})$

$= -\frac{1}{2} - 3\ln 2 + 4 + 1 - 3 + \frac{1}{2} = 2 - 3\ln 2$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{1+\cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x (1-\cos^2 x)}{1+\cos x} dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x (1-\cos x)(1+\cos x)}{1+\cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x (1-\cos x) dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \sin x \cos x) dx$

$= [-\cos x - \frac{1}{2} \sin^2 x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (0-\frac{1}{2}) - (-1 - 0) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(3) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx$

$t = e^x + 1$ と置換すると、$dt = e^x dx$ となります。

積分範囲は $x=0$ のとき $t=2$、$x=1$ のとき $t=e+1$ となるので、

$\int_{2}^{e+1} \frac{1}{t^2} dt = [-\frac{1}{t}]_{2}^{e+1} = -\frac{1}{e+1} + \frac{1}{2} = \frac{e-1}{2(e+1)}$

(4) $\int_{0}^{1} x\sqrt{1+x^2} dx$

$t = 1+x^2$ と置換すると、$dt = 2x dx$ となります。

積分範囲は $x=0$ のとき $t=1$、$x=1$ のとき $t=2$ となるので、

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \sqrt{t} dt = \frac{1}{2} [\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} = \frac{1}{3} [t^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} = \frac{1}{3} (2\sqrt{2} - 1)$

(5) $\int_{1}^{2} \frac{x^3}{1+x^2} dx = \int_{1}^{2} \frac{x(x^2+1) - x}{1+x^2} dx = \int_{1}^{2} (x - \frac{x}{1+x^2}) dx$

$= [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)]_{1}^{2} = (\frac{1}{2}(4) - \frac{1}{2}\ln 5) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2)$

$= 2 - \frac{1}{2}\ln 5 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{5}{2}$

(6) $\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}}{x-5} dx$

$t = \sqrt{x}$ と置換すると、$x = t^2$、$dx = 2t dt$ となります。

積分範囲は $x=1$ のとき $t=1$、$x=4$ のとき $t=2$ となるので、

$\int_{1}^{2} \frac{t}{t^2 - 5} 2t dt = 2 \int_{1}^{2} \frac{t^2}{t^2-5} dt = 2 \int_{1}^{2} (1 + \frac{5}{t^2-5}) dt$

$= 2 \int_{1}^{2} (1 + \frac{5}{(t-\sqrt{5})(t+\sqrt{5})}) dt$

$\frac{5}{(t-\sqrt{5})(t+\sqrt{5})} = \frac{A}{t-\sqrt{5}} + \frac{B}{t+\sqrt{5}} = \frac{A(t+\sqrt{5}) + B(t-\sqrt{5})}{t^2 - 5}$

$A+B = 0, A-B = \sqrt{5}$ より、$2A = \sqrt{5}, A = \frac{\sqrt{5}}{2}, B = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

$= 2 \int_{1}^{2} (1 + \frac{\sqrt{5}}{2}(\frac{1}{t-\sqrt{5}} - \frac{1}{t+\sqrt{5}})) dt$

$= 2 [t + \frac{\sqrt{5}}{2} \ln | \frac{t-\sqrt{5}}{t+\sqrt{5}} |]_{1}^{2}$

$= 2 [(2 + \frac{\sqrt{5}}{2} \ln | \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} |) - (1 + \frac{\sqrt{5}}{2} \ln | \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} |)] = 2 + \sqrt{5} (\ln | \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} | - \ln | \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} |)$

(7) $\int_{-2}^{2} (1+x^2)(x-3) dx = \int_{-2}^{2} (x-3+x^3-3x^2) dx = [\frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{1}{4}x^4 - x^3]_{-2}^{2}$

$= (2 - 6 + 4 - 8) - (2 + 6 + 4 + 8) = -8 - 20 = -28$

(8) $\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx = 0$ (奇関数の積分)

(9) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x dx = [\frac{1}{3} \sin^3 x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3} (1 - (-1)) = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $2 - 3\ln 2$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{e-1}{2(e+1)}$

(4) $\frac{2\sqrt{2} - 1}{3}$

(5) $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{5}{2}$

(6) $2 + \sqrt{5} (\ln | \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} | - \ln | \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} |)$

(7) $-28$

(8) $0$

(9) $\frac{2}{3}$