与えられた関数を合成関数の微分法を用いて微分する問題です。関数は以下の3つです。 (a) $y = (3x-2)^3 + 5$ (b) $y = (\frac{x}{x-1})^3$ (c) $y = \frac{1}{(6-3x)^4}$

1. 問題の内容

与えられた関数を合成関数の微分法を用いて微分する問題です。関数は以下の3つです。

(a) $y = (3x-2)^3 + 5$

(b) $y = (\frac{x}{x-1})^3$

(c) $y = \frac{1}{(6-3x)^4}$

2. 解き方の手順

(a) $y = (3x-2)^3 + 5$ の場合：

合成関数と見て、$u = 3x-2$ と置くと、$y = u^3 + 5$ となります。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 3 = 9u^2 = 9(3x-2)^2$

(b) $y = (\frac{x}{x-1})^3$ の場合：

合成関数と見て、$u = \frac{x}{x-1}$ と置くと、$y = u^3$ となります。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$u = \frac{x}{x-1}$ を微分すると、

$\frac{du}{dx} = \frac{(x-1)(1) - x(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{-1}{(x-1)^2} = 3(\frac{x}{x-1})^2 \cdot \frac{-1}{(x-1)^2} = \frac{-3x^2}{(x-1)^4}$

(c) $y = \frac{1}{(6-3x)^4}$ の場合：

$y = (6-3x)^{-4}$ と変形できます。

合成関数と見て、$u = 6-3x$ と置くと、$y = u^{-4}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -4u^{-5}$

$\frac{du}{dx} = -3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -4u^{-5} \cdot (-3) = 12u^{-5} = \frac{12}{(6-3x)^5}$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{dy}{dx} = 9(3x-2)^2$

(b) $\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2}{(x-1)^4}$

(c) $\frac{dy}{dx} = \frac{12}{(6-3x)^5}$