(1) $\Omega = \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ とする。$\mathbf{x} \in \Omega$ に対して、$f(\mathbf{x}) = \log \|\mathbf{x}\|$ とする。ここで、$\|\mathbf{x}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ である。このとき、 $\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}f(x_1, x_2) + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}f(x_1, x_2)$ を求める。 (2) $x_1(s,t) = e^{-s}\sin t$, $x_2(s,t) = e^{-s}\cos t$ とする。$f(x,y) = x^2\sqrt{y}$ とする。 $\frac{\partial}{\partial t}f(x_1(s,t), x_2(s,t))$ を $x_1 = x_1(s,t)$, $x_2 = x_2(s,t)$ を用いて求める。

1. 問題の内容

(1) $\Omega = \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ とする。$\mathbf{x} \in \Omega$ に対して、$f(\mathbf{x}) = \log \|\mathbf{x}\|$ とする。ここで、$\|\mathbf{x}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ である。このとき、

$\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}f(x_1, x_2) + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}f(x_1, x_2)$

を求める。

(2) $x_1(s,t) = e^{-s}\sin t$, $x_2(s,t) = e^{-s}\cos t$ とする。$f(x,y) = x^2\sqrt{y}$ とする。

$\frac{\partial}{\partial t}f(x_1(s,t), x_2(s,t))$

を $x_1 = x_1(s,t)$, $x_2 = x_2(s,t)$ を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x_1, x_2)$ を具体的に書くと、

$f(x_1, x_2) = \log \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \frac{1}{2} \log (x_1^2 + x_2^2)$

となる。

次に、偏微分を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac{1}{2} \frac{2x_1}{x_1^2 + x_2^2} = \frac{x_1}{x_1^2 + x_2^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} = \frac{(x_1^2 + x_2^2) - x_1(2x_1)}{(x_1^2 + x_2^2)^2} = \frac{x_2^2 - x_1^2}{(x_1^2 + x_2^2)^2}$

同様に、

$\frac{\partial f}{\partial x_2} = \frac{x_2}{x_1^2 + x_2^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} = \frac{(x_1^2 + x_2^2) - x_2(2x_2)}{(x_1^2 + x_2^2)^2} = \frac{x_1^2 - x_2^2}{(x_1^2 + x_2^2)^2}$

したがって、

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} = \frac{x_2^2 - x_1^2}{(x_1^2 + x_2^2)^2} + \frac{x_1^2 - x_2^2}{(x_1^2 + x_2^2)^2} = 0$

(2)

$f(x,y) = x^2\sqrt{y}$ なので、$f(x_1(s,t), x_2(s,t)) = (e^{-s}\sin t)^2 \sqrt{e^{-s}\cos t} = e^{-2s}\sin^2 t \cdot e^{-s/2} \sqrt{\cos t} = e^{-5s/2} \sin^2 t \sqrt{\cos t}$

$\frac{\partial}{\partial t} f(x_1(s,t), x_2(s,t)) = e^{-5s/2} \frac{\partial}{\partial t} (\sin^2 t \sqrt{\cos t})$

$= e^{-5s/2} (2\sin t \cos t \sqrt{\cos t} + \sin^2 t \frac{1}{2} (\cos t)^{-1/2} (-\sin t))$

$= e^{-5s/2} (2\sin t \cos^{3/2} t - \frac{1}{2} \sin^3 t (\cos t)^{-1/2})$

$= e^{-5s/2} (\frac{4\sin t \cos^2 t - \sin^3 t}{2\sqrt{\cos t}})$

$= \frac{e^{-5s/2} \sin t (4\cos^2 t - \sin^2 t)}{2\sqrt{\cos t}}$

$= \frac{e^{-5s/2} \sin t (4\cos^2 t - (1-\cos^2 t))}{2\sqrt{\cos t}}$

$= \frac{e^{-5s/2} \sin t (5\cos^2 t - 1)}{2\sqrt{\cos t}}$

ここで、

$x_1 = e^{-s} \sin t$, $x_2 = e^{-s} \cos t$ なので、$\sin t = e^s x_1$, $\cos t = e^s x_2$

よって、

$\frac{\partial}{\partial t} f(x_1(s,t), x_2(s,t)) = \frac{e^{-5s/2} e^s x_1 (5e^{2s} x_2^2 - 1)}{2\sqrt{e^s x_2}} = \frac{e^{-3s/2} x_1 (5e^{2s} x_2^2 - 1)}{2 e^{s/2} \sqrt{x_2}} = \frac{e^{-2s} x_1 (5e^{2s} x_2^2 - 1)}{2\sqrt{x_2}} = \frac{x_1 (5 x_2^2 - e^{-2s})}{2\sqrt{x_2}}$

$e^{-s} = \sqrt{x_1^2+x_2^2} \neq 0$, なので

$e^{-2s} = x_1^2 + x_2^2$

$\frac{\partial}{\partial t} f(x_1(s,t), x_2(s,t)) = \frac{x_1 (5 x_2^2 - x_1^2 - x_2^2)}{2\sqrt{x_2}} = \frac{x_1 (4x_2^2 - x_1^2)}{2\sqrt{x_2}}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{x_1(4x_2^2 - x_1^2)}{2\sqrt{x_2}}$