与えられた積分を計算する問題です。問題文には、$t = ax^n + b$ とおくように指示されており、公式15.1を用いるように指示があります。以下の4つの積分を計算します。 (1) $\int \frac{x^2}{x^3-2} dx$ (2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$ (3) $\int \frac{x}{e^{x^2-1}} dx$ (4) $\int x^2 \sin(x^3 + \pi) dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。問題文には、$t = ax^n + b$ とおくように指示されており、公式15.1を用いるように指示があります。以下の4つの積分を計算します。

(1) $\int \frac{x^2}{x^3-2} dx$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$

(3) $\int \frac{x}{e^{x^2-1}} dx$

(4) $\int x^2 \sin(x^3 + \pi) dx$

2. 解き方の手順

(1)

$t = x^3 - 2$ と置換します。

$dt = 3x^2 dx$ より、$\frac{1}{3} dt = x^2 dx$ です。

したがって、

$\int \frac{x^2}{x^3-2} dx = \int \frac{1}{t} \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{3} \ln|t| + C = \frac{1}{3} \ln|x^3-2| + C$

(2)

$t = x^2 + 1$ と置換します。

$dt = 2x dx$ より、$\frac{1}{2} dt = x dx$ です。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = \sqrt{t} + C = \sqrt{x^2+1} + C$

(3)

$t = x^2 - 1$ と置換します。

$dt = 2x dx$ より、$\frac{1}{2} dt = x dx$ です。

したがって、

$\int \frac{x}{e^{x^2-1}} dx = \int \frac{1}{e^t} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int e^{-t} dt = \frac{1}{2} (-e^{-t}) + C = -\frac{1}{2} e^{-(x^2-1)} + C = -\frac{1}{2} e^{1-x^2} + C$

(4)

$t = x^3 + \pi$ と置換します。

$dt = 3x^2 dx$ より、$\frac{1}{3} dt = x^2 dx$ です。

したがって、

$\int x^2 \sin(x^3 + \pi) dx = \int \sin(t) \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int \sin(t) dt = \frac{1}{3} (-\cos(t)) + C = -\frac{1}{3} \cos(x^3 + \pi) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3} \ln|x^3-2| + C$

(2) $\sqrt{x^2+1} + C$

(3) $-\frac{1}{2} e^{1-x^2} + C$

(4) $-\frac{1}{3} \cos(x^3 + \pi) + C$