与えられた積分の問題を解きます。問題は不定積分 $\int \frac{1}{e^{-x}-3} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。問題は不定積分 $\int \frac{1}{e^{-x}-3} dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、$u=e^{-x}$ と置換します。すると、$du = -e^{-x} dx$ となり、$dx = -\frac{1}{e^{-x}} du = -\frac{1}{u} du$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{e^{-x}-3} dx = \int \frac{1}{u-3} (-\frac{1}{u}) du = -\int \frac{1}{u(u-3)} du$

部分分数分解を行います。$\frac{1}{u(u-3)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u-3}$ と仮定します。

$1 = A(u-3) + Bu = Au - 3A + Bu = (A+B)u - 3A$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$-3A = 1$

したがって、$A = -\frac{1}{3}$ であり、$B = -A = \frac{1}{3}$ となります。

$\frac{1}{u(u-3)} = -\frac{1}{3u} + \frac{1}{3(u-3)}$

したがって、積分は次のようになります。

$-\int \frac{1}{u(u-3)} du = -\int (-\frac{1}{3u} + \frac{1}{3(u-3)}) du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u-3} du$

$= \frac{1}{3} \ln |u| - \frac{1}{3} \ln |u-3| + C$

$= \frac{1}{3} (\ln |u| - \ln |u-3|) + C$

$= \frac{1}{3} \ln |\frac{u}{u-3}| + C$

$u=e^{-x}$ を代入すると、

$\frac{1}{3} \ln |\frac{e^{-x}}{e^{-x}-3}| + C$

$= \frac{1}{3} \ln |\frac{1}{1-3e^{x}}| + C$

$= \frac{1}{3} \ln |\frac{1}{3e^x-1}| + C$

$= -\frac{1}{3} \ln |3e^{x}-1| + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} \ln |3e^{x}-1| + C$