関数 $y = (x-a)^2 - 2$ の $2 \le x \le 4$ における最大値を求める問題です。$a$ の値によって最大値をとる $x$ の値が変わるので、$a$ の範囲で場合分けして考える必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-a)^2 - 2$ の $2 \le x \le 4$ における最大値を求める問題です。$a$ の値によって最大値をとる $x$ の値が変わるので、$a$ の範囲で場合分けして考える必要があります。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = (x-a)^2 - 2$ は、下に凸の2次関数です。軸は $x = a$ です。定義域 $2 \le x \le 4$ における最大値を考えるので、軸 $x=a$ が定義域のどの位置にあるかで場合分けします。

i) $a < 3$ のとき

このとき、$x=2$ と $x=4$ のどちらが軸から遠いかを考える必要があります。$a < 3$ であるとき、$4-a > a-2$ となる条件は $6 > 2a$ から $a < 3$ となり、$4-a < a-2$ となる条件は$6 < 2a$から$a>3$となります。

(ア) $a < 3$ のとき、$x=4$ が軸から遠いので、$x=4$ で最大値をとります。最大値は $y=(4-a)^2 - 2$ です。

ii) $a \ge 3$のとき

(ア) $a \ge 3$ のとき、$x=2$が軸から遠いので、$x=2$ で最大値をとります。最大値は $y = (2-a)^2 - 2$ です。

3. 最終的な答え

i) $a < 3$ のとき、$x=4$ で最大値 $(4-a)^2-2$

ii) $3 \leq a$ のとき、$x=2$ で最大値 $(2-a)^2-2$