与えられた数式の値を計算します。 $ \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{20}} - \frac{1}{\sqrt{45}} $

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{20}} - \frac{1}{\sqrt{45}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母にある根号を簡単にします。

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

与えられた式を書き換えると、次のようになります。

$\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2\sqrt{5}} - \frac{1}{3\sqrt{5}}$

すべての項に $\sqrt{5}$ が含まれているので、共通因数としてくくり出すことができます。

$\frac{1}{\sqrt{5}} \left( 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)$

括弧の中の分数を計算します。

$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{6}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{6-3-2}{6} = \frac{1}{6}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6\sqrt{5}}$

最後に、分母に根号がないように有理化します。

$\frac{1}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{6\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{6 \times 5} = \frac{\sqrt{5}}{30}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}}{30}$