与えられた5つの根号を含む数式の計算問題です。各問題の根号内を整理し、同類項をまとめることで計算します。

1. 問題の内容

与えられた5つの根号を含む数式の計算問題です。各問題の根号内を整理し、同類項をまとめることで計算します。

2. 解き方の手順

(1) $5\sqrt{48} + 7\sqrt{75}$

まず、$\sqrt{48}$と$\sqrt{75}$をそれぞれ簡単にします。

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$

したがって、

$5\sqrt{48} + 7\sqrt{75} = 5(4\sqrt{3}) + 7(5\sqrt{3}) = 20\sqrt{3} + 35\sqrt{3} = 55\sqrt{3}$

(2) $7\sqrt{20} + \sqrt{45} - 2\sqrt{5}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

したがって、

$7\sqrt{20} + \sqrt{45} - 2\sqrt{5} = 7(2\sqrt{5}) + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 14\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 15\sqrt{5}$

(3) $\sqrt{32} + 2\sqrt{8} - 3\sqrt{18}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

したがって、

$\sqrt{32} + 2\sqrt{8} - 3\sqrt{18} = 4\sqrt{2} + 2(2\sqrt{2}) - 3(3\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 9\sqrt{2} = -1\sqrt{2} = -\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{80} - \sqrt{125} + 2\sqrt{20}$

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$

$\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

したがって、

$\sqrt{80} - \sqrt{125} + 2\sqrt{20} = 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + 2(2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

(5) $\sqrt{96} - \sqrt{24} - 3\sqrt{54}$

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

したがって、

$\sqrt{96} - \sqrt{24} - 3\sqrt{54} = 4\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 3(3\sqrt{6}) = 4\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 9\sqrt{6} = -7\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $55\sqrt{3}$

(2) $15\sqrt{5}$

(3) $-\sqrt{2}$

(4) $3\sqrt{5}$

(5) $-7\sqrt{6}$