6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って、以下の条件を満たす整数が何個できるかを求めます。ただし、同じ数字は2度以上使わないとします。 (1) 6桁の整数 (2) 6桁の整数で5の倍数

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って、以下の条件を満たす整数が何個できるかを求めます。ただし、同じ数字は2度以上使わないとします。

(1) 6桁の整数

(2) 6桁の整数で5の倍数

2. 解き方の手順

(1) 6桁の整数の場合

6桁の整数なので、先頭の桁は0以外の数字である必要があります。

まず、先頭の桁の選び方は、0以外の5つの数字(1, 2, 3, 4, 5)から1つを選ぶので、5通りです。

次に、2桁目以降は残りの5つの数字から順番に選ぶことになります。

2桁目の選び方は5通り、3桁目の選び方は4通り、4桁目の選び方は3通り、5桁目の選び方は2通り、6桁目の選び方は1通りです。

したがって、6桁の整数の総数は

$5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5 \times 5! = 5 \times 120 = 600$通りです。

(2) 6桁の整数で5の倍数の場合

6桁の整数が5の倍数であるためには、一の位が0または5である必要があります。

場合分けして考えます。

(i) 一の位が0の場合

一の位が0の場合、残りの5桁は1, 2, 3, 4, 5の5つの数字を並べることになります。

先頭の桁の選び方は5通り、2桁目の選び方は4通り、3桁目の選び方は3通り、4桁目の選び方は2通り、5桁目の選び方は1通りです。

したがって、この場合の6桁の整数の数は

$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$通りです。

(ii) 一の位が5の場合

一の位が5の場合、先頭の桁は0以外の数字を選ぶ必要があります。

したがって、先頭の桁の選び方は、1, 2, 3, 4の4通りです。

次に、2桁目以降は残りの4つの数字（0を含む）から順番に選ぶことになります。

2桁目の選び方は4通り、3桁目の選び方は3通り、4桁目の選び方は2通り、5桁目の選び方は1通りです。

したがって、この場合の6桁の整数の数は

$4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$通りです。

(i)と(ii)を合わせると、

$120 + 96 = 216$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 6桁の整数：600個

(2) 6桁の整数で5の倍数：216個