(1) 1から200までの自然数のうち、4で割ると3余る数の和を求める。 (2) 直線 $l: y = -2x + 3$ がある。点 $P_n(a_n, 0)$ を通り、$l$ に垂直な直線と $l$ との交点を $Q_n$ とし、$Q_n$ を通り $x$ 軸に垂直な直線が $x$ 軸と交わる点を $P_{n+1}(a_{n+1}, 0)$ とする。このとき、$a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

(1) 1から200までの自然数のうち、4で割ると3余る数の和を求める。

(2) 直線 $l: y = -2x + 3$ がある。点 $P_n(a_n, 0)$ を通り、$l$ に垂直な直線と $l$ との交点を $Q_n$ とし、$Q_n$ を通り $x$ 軸に垂直な直線が $x$ 軸と交わる点を $P_{n+1}(a_{n+1}, 0)$ とする。このとき、$a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

4で割ると3余る自然数は、初項3, 公差4の等差数列となる。

$a_n = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$

$4n - 1 \le 200$ を満たす最大の $n$ は $4n \le 201$ より $n \le 50.25$ なので、$n = 50$ である。

つまり、求める和は初項3, 末項 $4 \times 50 - 1 = 199$, 項数50の等差数列の和である。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ を用いると、

$S_{50} = \frac{50(3 + 199)}{2} = \frac{50 \times 202}{2} = 50 \times 101 = 5050$

(2)

直線 $l: y = -2x + 3$ の傾きは -2である。

$P_n(a_n, 0)$ を通り $l$ に垂直な直線の傾きは $\frac{1}{2}$ である。

よって、$P_n(a_n, 0)$ を通り $l$ に垂直な直線の方程式は $y = \frac{1}{2}(x - a_n)$ となる。

$Q_n$ はこの直線と $l$ の交点なので、

$\frac{1}{2}(x - a_n) = -2x + 3$

$x - a_n = -4x + 6$

$5x = a_n + 6$

$x = \frac{a_n + 6}{5}$

$Q_n$ の $x$ 座標は $\frac{a_n + 6}{5}$ である。

$Q_n$ の $y$ 座標は $y = -2(\frac{a_n + 6}{5}) + 3 = \frac{-2a_n - 12 + 15}{5} = \frac{-2a_n + 3}{5}$

$P_{n+1}(a_{n+1}, 0)$ は $Q_n$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足なので、$P_{n+1}$ の $x$ 座標は $Q_n$ の $x$ 座標に等しい。

よって、$a_{n+1} = \frac{a_n + 6}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 5050

(2) $a_{n+1} = \frac{a_n + 6}{5}$