与えられた3つの式について、二重根号をはずして簡単にせよという問題です。 (1) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$ (2) $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$ (3) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式について、二重根号をはずして簡単にせよという問題です。

(1) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$

(2) $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$

(3) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外すための公式を利用します。

$\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

$\sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

ただし、$a > b$とします。

(1) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$ の場合:

$\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ と変形できます。

$a+b = 5$、 $ab=6$となる $a$と$b$を探すと、$a=3$、$b=2$が見つかります。

したがって、$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$ の場合:

$\sqrt{11 + 4\sqrt{6}} = \sqrt{11 + 2\sqrt{24}}$ と変形できます。

$a+b = 11$、 $ab=24$となる $a$と$b$を探すと、$a=8$、$b=3$が見つかります。

したがって、$\sqrt{11 + 2\sqrt{24}} = \sqrt{8} + \sqrt{3} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$ の場合:

$\sqrt{12 - 8\sqrt{2}} = \sqrt{12 - 2\sqrt{32}}$ と変形できます。

$a+b = 12$、 $ab=32$となる $a$と$b$を探すと、$a=8$、$b=4$が見つかります。

したがって、$\sqrt{12 - 2\sqrt{32}} = \sqrt{8} - \sqrt{4} = 2\sqrt{2} - 2$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

(2) $2\sqrt{2} + \sqrt{3}$

(3) $2\sqrt{2} - 2$