(1) 200以下の自然数のうち、9でも12でも割り切れない数の個数を求める。 (2) 200以下の自然数のうち、9の倍数であるが、12の倍数ではない数の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) 200以下の自然数のうち、9でも12でも割り切れない数の個数を求める。

(2) 200以下の自然数のうち、9の倍数であるが、12の倍数ではない数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 200以下の自然数全体の集合を$U$とする。

* $U$の中で9の倍数の集合を$A$、$U$の中で12の倍数の集合を$B$とする。

* 求めるのは、$A$にも$B$にも属さない要素の個数、つまり$n(\overline{A} \cap \overline{B})$である。

* ド・モルガンの法則より、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

* $n(U) = 200$

* $n(A) = \lfloor \frac{200}{9} \rfloor = 22$ （$\lfloor x \rfloor$は$x$を超えない最大の整数）

* $n(B) = \lfloor \frac{200}{12} \rfloor = 16$

* $A \cap B$は9の倍数かつ12の倍数、つまり9と12の最小公倍数36の倍数。

* $n(A \cap B) = \lfloor \frac{200}{36} \rfloor = 5$

* $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 22 + 16 - 5 = 33$

* $n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 200 - 33 = 167$

(2)

* 求めるのは、9の倍数であるが12の倍数ではない数の個数である。これは、9の倍数の個数から、9の倍数かつ12の倍数（つまり36の倍数）の個数を引けばよい。

* $n(A) = \lfloor \frac{200}{9} \rfloor = 22$

* $n(A \cap B) = \lfloor \frac{200}{36} \rfloor = 5$

* 求める個数は$n(A) - n(A \cap B) = 22 - 5 = 17$

3. 最終的な答え

(1) 167

(2) 17