与えられた硬貨を使って支払える金額の種類を求める問題です。 (1) 100円硬貨5枚、50円硬貨1枚、10円硬貨3枚 (2) 100円硬貨3枚、50円硬貨3枚、10円硬貨3枚

1. 問題の内容

与えられた硬貨を使って支払える金額の種類を求める問題です。

(1) 100円硬貨5枚、50円硬貨1枚、10円硬貨3枚

(2) 100円硬貨3枚、50円硬貨3枚、10円硬貨3枚

2. 解き方の手順

(1)

100円硬貨の枚数は0枚から5枚の6通り、50円硬貨の枚数は0枚または1枚の2通り、10円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通りあります。

これらの組み合わせから、支払える金額の種類を求めます。ただし、全て0枚の場合（0円）は除く必要があります。

したがって、

$6 \times 2 \times 4 - 1 = 48 - 1 = 47$ 通りです。

(2)

100円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通り、50円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通り、10円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通りあります。

これらの組み合わせから、支払える金額の種類を求めます。ただし、全て0枚の場合（0円）は除く必要があります。

したがって、一見すると $4 \times 4 \times 4 - 1 = 64 - 1 = 63$ 通りですが、重複している金額があるので調整が必要です。

50円硬貨2枚で100円と同じになるため、100円硬貨の代わりに50円硬貨を使うことを考えます。

100円硬貨3枚を全て50円硬貨に換えると6枚になり、元の50円硬貨3枚と合わせて9枚の50円硬貨になります。

つまり、50円硬貨の枚数は0枚から9枚の10通りとなります。

100円硬貨と50円硬貨の組み合わせで表現できる金額は、0円から450円まで50円刻みで表せる10通りです。

これに10円硬貨を組み合わせると、10円硬貨は0枚から3枚なので、0円から30円を10円刻みで表せます。

したがって、全ての組み合わせは $10 \times 4 - 1 = 40 - 1 = 39$ 通りです。

別の解法:

100円硬貨の枚数は0, 1, 2, 3の4通り、50円硬貨の枚数は0, 1, 2, 3の4通り、10円硬貨の枚数は0, 1, 2, 3の4通りです。

全部で $4 \times 4 \times 4 = 64$ 通りですが、全て0枚の場合を除いて63通りです。

ここで、50円玉を2枚使うと100円玉1枚と同じ金額になることに注意します。

100円玉の枚数を増やさずに50円玉の枚数を減らした場合、同じ金額になる場合があります。

具体的には、

- 100円3枚は50円6枚で表現できる

- 100円2枚は50円4枚で表現できる

- 100円1枚は50円2枚で表現できる

そのため、重複が発生する可能性があります。

計算しやすいように金額を小さい順に並べ、重複を削除していくことを考えます。

3. 最終的な答え

(1) 47通り

(2) 39通り