$\sqrt{27^3}$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\sqrt{27^3}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、27を3の累乗で表します。$27 = 3^3$ なので、

$\sqrt{27^3} = \sqrt{(3^3)^3}$

次に、累乗の累乗の法則 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ を使って、

$\sqrt{(3^3)^3} = \sqrt{3^{3 \times 3}} = \sqrt{3^9}$

次に、平方根を指数で表します。$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$なので、

$\sqrt{3^9} = (3^9)^{\frac{1}{2}}$

再び、累乗の累乗の法則を使って、

$(3^9)^{\frac{1}{2}} = 3^{9 \times \frac{1}{2}} = 3^{\frac{9}{2}}$

$3^{\frac{9}{2}}$を$3^{\frac{8}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}}$と分解します。

$3^{\frac{9}{2}} = 3^{\frac{8}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} = 3^4 \times 3^{\frac{1}{2}}$

$3^4 = 81$、 $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ なので、

$3^4 \times 3^{\frac{1}{2}} = 81 \times \sqrt{3} = 81\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$81\sqrt{3}$