6個の数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ から異なる4個を選んで4桁の整数を作る。次の条件を満たす整数はそれぞれ何個できるか。 (1) 整数 (2) 奇数 (3) 偶数 (4) 3200より大きい整数

1. 問題の内容

6個の数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ から異なる4個を選んで4桁の整数を作る。次の条件を満たす整数はそれぞれ何個できるか。

(1) 整数

(2) 奇数

(3) 偶数

(4) 3200より大きい整数

2. 解き方の手順

(1) 整数

千の位は0以外の数字($1,2,3,4,5$)から選ぶので5通り。

百の位は千の位で使った数字以外の数字から選ぶので5通り。

十の位は千の位と百の位で使った数字以外の数字から選ぶので4通り。

一の位は千の位、百の位、十の位で使った数字以外の数字から選ぶので3通り。

よって、$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個

(2) 奇数

一の位は奇数 ($1, 3, 5$) から選ぶので3通り。

千の位は0と一の位で使った数字以外の数字から選ぶ。

- 千の位が奇数の場合: 2通り

- 千の位が偶数の場合: 3通り ($2, 4$)

百の位、十の位は残りの数字から選ぶ。

- 千の位が奇数の場合: $3 \times 4 \times 3 = 36$個

- 千の位が偶数の場合: $3 \times 4 \times 3 = 36$個

合計すると、$36 + 36 = 72$個

一の位が奇数の場合を考慮すると、千の位の選び方が変わる。

まず、一の位を決めると3通り。

千の位は0以外の数字なので、

- 一の位が奇数の場合、千の位は5通り ($1, 2, 3, 4, 5$ から一の位の数字を除く)

- 百の位は残りの4通り (0を含む)

- 十の位は残りの3通り

よって、$3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$個

(3) 偶数

全体の個数から奇数の個数を引けばよい。

$300 - 180 = 120$ 個

または、一の位が偶数の場合を考える。一の位は ($0, 2, 4$) から選ぶ。

- 一の位が0の場合: 千の位は5通り、百の位は4通り、十の位は3通り。$5 \times 4 \times 3 = 60$ 個

- 一の位が2または4の場合: 一の位は2通り。千の位は0と一の位で使った数字以外なので4通り。百の位は4通り (0を含む)、十の位は3通り。 $2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$ 個。

合計すると、$60 + 96 = 156$ 個

(4) 3200より大きい整数

千の位が3, 4, 5の場合を考える。

- 千の位が3の場合: 百の位は2, 4, 5から選ぶ必要がある。

- 百の位が2の場合: 十の位は4通り、一の位は3通り。$1 \times 1 \times 4 \times 3 = 12$個

- 百の位が4または5の場合: 十の位は4通り、一の位は3通り。$1 \times 2 \times 4 \times 3 = 24$個

- 千の位が4または5の場合: 千の位は2通り。百の位は5通り、十の位は4通り、一の位は3通り。 $2 \times 5 \times 4 \times 3 = 120$ 個

合計すると、$12 + 24 + 120 = 156$ 個

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 180個

(3) 156個

(4) 156個