5つの数字 0, 1, 2, 3, 4 を使ってできる3桁の整数のうち、以下の条件を満たす整数の個数を求めます。ただし、同じ数字は2度以上使わないものとします。 (1) 偶数 (2) 3の倍数

1. 問題の内容

5つの数字 0, 1, 2, 3, 4 を使ってできる3桁の整数のうち、以下の条件を満たす整数の個数を求めます。ただし、同じ数字は2度以上使わないものとします。

(1) 偶数

(2) 3の倍数

2. 解き方の手順

(1) 偶数

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が偶数である必要があります。使用できる偶数は0, 2, 4 の3つです。

(i) 一の位が0の場合：

百の位は0以外の4つの数字から選べます。十の位は残りの3つの数字から選べます。したがって、この場合は $4 \times 3 = 12$ 通りです。

(ii) 一の位が2または4の場合：

一の位は2通りです。百の位は0と一の位で使用した数字以外の3つの数字から選べます。十の位は残りの3つの数字から選べます。したがって、この場合は $2 \times 3 \times 3 = 18$ 通りです。

したがって、偶数の個数は $12 + 18 = 30$ 個です。

(2) 3の倍数

3の倍数であるためには、各位の数字の和が3の倍数である必要があります。使用できる数字は0, 1, 2, 3, 4 です。3つの数字を選んで和が3の倍数になる組み合わせを考えます。

(i) 各位の数の和が3になる組み合わせ：

(0, 1, 2) → 3! - 2! = 6 - 2 = 4通り

(ii) 各位の数の和が6になる組み合わせ：

(0, 2, 4) → 3! - 2! = 6 - 2 = 4通り

(1, 2, 3) → 3! = 6通り

(0, 3, 3)はあり得ない

(iii) 各位の数の和が9になる組み合わせ：

(1, 3, 5)はあり得ない

(2, 3, 4) → 3! = 6通り

(0, 3, 6)はあり得ない

(4, 5, 0)はありえない

(iv) 各位の数の和が12になる組み合わせ：

(3, 4, 5)はあり得ない

(3, 4, 0)はあり得ない

(0, 1, 2)のとき: 100の位に0は来れないので、2 * 2 * 1 = 4

(0, 2, 4)のとき: 100の位に0は来れないので、2 * 2 * 1 = 4

(1, 2, 3)のとき: 3 * 2 * 1 = 6

(2, 3, 4)のとき: 3 * 2 * 1 = 6

したがって、3の倍数の個数は $4 + 4 + 6 + 6 = 20$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) 偶数の個数は 30個 です。

(2) 3の倍数の個数は 20個 です。