関数 $y = 2(x-a)^2 + 2$ の $2 \le x \le 4$ における最大値を求め、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2(x-a)^2 + 2$ の $2 \le x \le 4$ における最大値を求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数は、$x=a$ を軸とする下に凸の二次関数です。定義域が $2 \le x \le 4$ であるため、軸の位置によって最大値を取る $x$ の値が変わります。

i) $a < 3$ のとき

軸 $x=a$ が区間 $[2, 4]$ の中央の値より小さい場合を考えます。このとき、区間の右端 $x=4$ で最大値を取ります。

最大値は、$y = 2(4-a)^2 + 2$ です。

ii) $3 \le a$ のとき

軸 $x=a$ が区間 $[2, 4]$ の中央の値以上の場合を考えます。このとき、区間の左端 $x=2$ で最大値を取ります。

最大値は、$y = 2(2-a)^2 + 2$ です。

i) $a < 3$ のとき、$x=4$ で最大値 $2(4-a)^2+2$

ii) $3 \le a$ のとき、$x=2$ で最大値 $2(2-a)^2+2$

3. 最終的な答え

i) $a < 3$ のとき、$x=4$ で最大値 $2(4-a)^2 + 2$

ii) $3 \le a$ のとき、$x=2$ で最大値 $2(2-a)^2 + 2$