関数 $f(x) = x^2 - 1$ について、$x = -1$ における微分係数 $f'(-1)$ を、微分係数の定義に基づいて求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 1$ について、$x = -1$ における微分係数 $f'(-1)$ を、微分係数の定義に基づいて求める問題です。

2. 解き方の手順

微分係数の定義より、

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

$f(x) = x^2 - 1$ より、

$f(-1+h) = (-1+h)^2 - 1 = 1 - 2h + h^2 - 1 = h^2 - 2h$

$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

したがって、

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 2h - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 2h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(h - 2)}{h} = \lim_{h \to 0} (h - 2)$

$h \to 0$ のとき、$h - 2 \to -2$ なので、

$f'(-1) = -2$

画像にある穴埋めを埋めていきます。

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{Ah + C}{h}$ なので、$Ah + C = h^2 - 2h$ となります。したがって、$Ah + Ch = h^2 - 2h$ です。画像をよく見ると、$C^2$となっているので、$Ah+Ch^2$と考えられます。これは間違いなので、$Ah+Ch$と訂正します。

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{Ah + Ch}{h} = \lim_{h \to 0} (A+C)$。

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} (h-2) = -2$

したがって、

$A=-2$

$C=0$

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{Ah + Bh^2}{h}$

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 2h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (-2 + h)$

したがって、$A = -2$, $B=1$

$\lim_{h \to 0} (A+Bh) = A$

したがって、$AB = -2$、$C = 0$

$\lim_{h \to 0} (AB+C) = -2 + 0 = -2 = DE$

$D=-2, E=0$

3. 最終的な答え

A: -2

B: 1

C: 0

D: -2

E: 0