放物線 $y = -x^2 - 4x$ と x軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 - 4x$ と x軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線とx軸の交点を求めます。

$y = -x^2 - 4x = 0$ を解くと、

$-x(x+4) = 0$ より、 $x = 0, -4$ となります。

したがって、求める面積 $S$ は、定積分を用いて以下のように表されます。

$S = \left| \int_{-4}^{0} (-x^2 - 4x) dx \right|$

次に、定積分を計算します。

$\int (-x^2 - 4x) dx = -\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + C$

積分区間 $[-4, 0]$ における定積分は、

$\int_{-4}^{0} (-x^2 - 4x) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 \right]_{-4}^{0}$

$= \left( -\frac{1}{3}(0)^3 - 2(0)^2 \right) - \left( -\frac{1}{3}(-4)^3 - 2(-4)^2 \right)$

$= 0 - \left( -\frac{1}{3}(-64) - 2(16) \right)$

$= 0 - \left( \frac{64}{3} - 32 \right)$

$= -\frac{64}{3} + 32 = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3}$

したがって、面積 $S$ は、

$S = \left| \frac{32}{3} \right| = \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{3}$