## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{3} + 1}$, $y = \frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

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2. 解き方の手順

(1) $x+y$ の計算

$x$ と $y$ の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

$x+y = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} + 1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

(2) $xy$ の計算

$xy = \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{1}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{1}{3 - 1} = \frac{1}{2}$

(3) $x^2+y^2$ の計算

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

(1) と (2) の結果を利用して、$x+y = \sqrt{3}$、$xy = \frac{1}{2}$ であるから、

$x^2 + y^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 1 = 2$

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3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{3}$

(2) $xy = \frac{1}{2}$

(3) $x^2+y^2 = 2$