与えられた式 $4x^4 + 32xy^3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^4 + 32xy^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、各項に共通する因数を見つけます。両方の項は4で割り切れるので、4を共通因数としてくくりだすことができます。また、両方の項はxの変数を持つので、xも共通因数としてくくりだすことができます。

$4x^4 + 32xy^3 = 4x(x^3 + 8y^3)$

次に、$x^3 + 8y^3$ の部分を因数分解します。これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式が利用できます。この場合、$a = x$、$b = 2y$ となります。

$x^3 + 8y^3 = x^3 + (2y)^3 = (x + 2y)(x^2 - x(2y) + (2y)^2) = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

したがって、与えられた式全体の因数分解は以下のようになります。

$4x^4 + 32xy^3 = 4x(x^3 + 8y^3) = 4x(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

3. 最終的な答え

$4x(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$