数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = n(n-1)$ であるとき、以下の問題を解く。 (1) $a_{k+1}^2 - a_k^2$ を $k$ の式で表す。 (2) $\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{1}{4} n^2(n+1)^2$ を証明する。 (3) $a_{k+1}^3 - a_k^3$ を $k$ の式で表す。 (4) $\sum_{k=1}^n k^5$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = n(n-1)$ であるとき、以下の問題を解く。

(1) $a_{k+1}^2 - a_k^2$ を $k$ の式で表す。

(2) $\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{1}{4} n^2(n+1)^2$ を証明する。

(3) $a_{k+1}^3 - a_k^3$ を $k$ の式で表す。

(4) $\sum_{k=1}^n k^5$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

(1) $a_k = k(k-1)$ なので、$a_{k+1} = (k+1)k$ である。よって、

$a_{k+1}^2 - a_k^2 = ((k+1)k)^2 - (k(k-1))^2 = k^2[(k+1)^2 - (k-1)^2] = k^2(k^2 + 2k + 1 - (k^2 - 2k + 1)) = k^2(4k) = 4k^3$

(2) (1) の結果より、$a_{k+1}^2 - a_k^2 = 4k^3$ である。$\sum_{k=1}^n (a_{k+1}^2 - a_k^2) = a_{n+1}^2 - a_1^2$ であり、$a_1 = 0$ なので、

$\sum_{k=1}^n (a_{k+1}^2 - a_k^2) = a_{n+1}^2 = ((n+1)n)^2 = n^2(n+1)^2$

また、$\sum_{k=1}^n (a_{k+1}^2 - a_k^2) = \sum_{k=1}^n 4k^3 = 4 \sum_{k=1}^n k^3$ なので、

$4 \sum_{k=1}^n k^3 = n^2(n+1)^2$

$\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{1}{4} n^2(n+1)^2$

(3) $a_k = k(k-1)$ なので、$a_{k+1} = (k+1)k$ である。よって、

$a_{k+1}^3 - a_k^3 = ((k+1)k)^3 - (k(k-1))^3 = k^3[(k+1)^3 - (k-1)^3] = k^3(k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - (k^3 - 3k^2 + 3k - 1)) = k^3(6k^2 + 2) = 6k^5 + 2k^3$

(4) (3) の結果より、$a_{k+1}^3 - a_k^3 = 6k^5 + 2k^3$ である。$\sum_{k=1}^n (a_{k+1}^3 - a_k^3) = a_{n+1}^3 - a_1^3$ であり、$a_1 = 0$ なので、

$\sum_{k=1}^n (a_{k+1}^3 - a_k^3) = a_{n+1}^3 = ((n+1)n)^3 = n^3(n+1)^3$

また、$\sum_{k=1}^n (a_{k+1}^3 - a_k^3) = \sum_{k=1}^n (6k^5 + 2k^3) = 6 \sum_{k=1}^n k^5 + 2 \sum_{k=1}^n k^3$ なので、

$6 \sum_{k=1}^n k^5 + 2 \sum_{k=1}^n k^3 = n^3(n+1)^3$

$6 \sum_{k=1}^n k^5 = n^3(n+1)^3 - 2 \sum_{k=1}^n k^3 = n^3(n+1)^3 - 2 \cdot \frac{1}{4} n^2(n+1)^2 = n^2(n+1)^2 [n(n+1) - \frac{1}{2}] = n^2(n+1)^2 (n^2 + n - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} n^2(n+1)^2 (2n^2 + 2n - 1)$

$\sum_{k=1}^n k^5 = \frac{1}{12} n^2(n+1)^2 (2n^2 + 2n - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $4k^3$

(2) $\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{1}{4} n^2(n+1)^2$ (証明済み)

(3) $6k^5 + 2k^3$

(4) $\sum_{k=1}^n k^5 = \frac{1}{12} n^2(n+1)^2 (2n^2 + 2n - 1)$