複素数 $z = 6 + 2i$ を原点を中心として$\frac{\pi}{4}$だけ回転した点を表す複素数を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 + 2i$ を原点を中心として$\frac{\pi}{4}$だけ回転した点を表す複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を原点を中心に$\theta$だけ回転させるには、$z$に$cos\theta + i sin\theta$を掛けます。

今回は$\theta = \frac{\pi}{4}$なので、$cos\frac{\pi}{4} + i sin\frac{\pi}{4}$を$6 + 2i$に掛けます。

$cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$6 + 2i$に$\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$を掛けます。

$(6 + 2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= (6 + 2i)\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)$

$= (3 + i)\sqrt{2}(1 + i)$

$= \sqrt{2}(3 + 3i + i - 1)$

$= \sqrt{2}(2 + 4i)$

$= 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$