与えられた分数を小数で表したとき、指定された小数第n位の数字を求める問題です。 (1) $\frac{11}{101}$ の小数第75位の数字を求めます。 (2) $\frac{9}{41}$ の小数第100位の数字を求めます。

1. 問題の内容

与えられた分数を小数で表したとき、指定された小数第n位の数字を求める問題です。

(1) $\frac{11}{101}$ の小数第75位の数字を求めます。

(2) $\frac{9}{41}$ の小数第100位の数字を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{11}{101}$ を小数で表すと、循環小数になります。

$\frac{11}{101} = 0.108910891089... = 0.\overline{1089}$

循環節の長さは4です。

小数第75位の数字を知るために、75を4で割った余りを計算します。

$75 \div 4 = 18 \text{ あまり } 3$

余りが3なので、循環節の3番目の数字が小数第75位の数字になります。

循環節は1089なので、3番目の数字は8です。

(2) $\frac{9}{41}$ を小数で表すと、循環小数になります。

$\frac{9}{41} = 0.21951219512195... = 0.\overline{219512}$

循環節の長さは5です。　誤り．循環節の長さは6です

小数第100位の数字を知るために、100を6で割った余りを計算します。

$100 \div 6 = 16 \text{ あまり } 4$

余りが4なので、循環節の4番目の数字が小数第100位の数字になります。

循環節は219512なので、4番目の数字は5です。

3. 最終的な答え

(1) 小数第75位は 8 です。

(2) 小数第100位は 5 です。