(1) $(x-2)^6$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めよ。 (2) $(2x+3y)^6$ の展開式における $x^4y^2$ の項の係数を求めよ。 (3) $A=x^3-3x^2+x+2$ を $B=x^2-2x$ で割った商と余りを求めよ。 (4) $A=8x^3+2x+3$ を $B=2x^2+3x-1$ で割った商と余りを求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(x-2)^6$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めよ。

(2) $(2x+3y)^6$ の展開式における $x^4y^2$ の項の係数を求めよ。

(3) $A=x^3-3x^2+x+2$ を $B=x^2-2x$ で割った商と余りを求めよ。

(4) $A=8x^3+2x+3$ を $B=2x^2+3x-1$ で割った商と余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理より、$(x-2)^6$ の展開式における一般項は、

$_{6}C_{k} x^{6-k} (-2)^k$

$x^3$ の項の係数を求めるには $6-k = 3$ となればよいので、$k=3$。

したがって、$x^3$ の項の係数は

$_{6}C_{3} (-2)^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-8) = 20 \cdot (-8) = -160$

(2) 二項定理より、$(2x+3y)^6$ の展開式における一般項は、

$_{6}C_{k} (2x)^{6-k} (3y)^k = _{6}C_{k} 2^{6-k} 3^k x^{6-k} y^k$

$x^4y^2$ の項の係数を求めるには $6-k = 4$ かつ $k=2$ となればよい。

したがって、$x^4y^2$ の項の係数は

$_{6}C_{2} 2^{4} 3^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 16 \cdot 9 = 15 \cdot 16 \cdot 9 = 15 \cdot 144 = 2160$

(3) 多項式の割り算を実行する。

$x^3-3x^2+x+2 = (x^2-2x)(x-1) - x + 2$

したがって、商は $x-1$ であり、余りは $-x+2$ である。

(4) 多項式の割り算を実行する。

$8x^3+2x+3 = (2x^2+3x-1)(4x-6) + 26x - 3$

したがって、商は $4x-6$ であり、余りは $26x-3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-160$

(2) $2160$

(3) 商: $x-1$, 余り: $-x+2$

(4) 商: $4x-6$, 余り: $26x-3$