A組 $m$ 人とB組 $n$ 人の生徒に対して行ったテストの得点について、A組の平均点を $\bar{x}$、分散を $S_A^2$、B組の平均点を $\bar{y}$、分散を $S_B^2$、A組とB組を合わせた $(m+n)$ 人の平均点を $w$、分散を $S^2$ とする。このとき、A組の得点と $w$ の差の2乗の和 $\sum_{i=1}^m (x_i - w)^2$ を $\bar{x}, S_A^2, w$ を用いて表し、また $S^2$ を $m, n, S_A^2, S_B^2, \bar{x}, \bar{y}, w$ を用いて表す問題。

1. 問題の内容

A組 $m$ 人とB組 $n$ 人の生徒に対して行ったテストの得点について、A組の平均点を $\bar{x}$、分散を $S_A^2$、B組の平均点を $\bar{y}$、分散を $S_B^2$、A組とB組を合わせた $(m+n)$ 人の平均点を $w$、分散を $S^2$ とする。このとき、A組の得点と $w$ の差の2乗の和 $\sum_{i=1}^m (x_i - w)^2$ を $\bar{x}, S_A^2, w$ を用いて表し、また $S^2$ を $m, n, S_A^2, S_B^2, \bar{x}, \bar{y}, w$ を用いて表す問題。

2. 解き方の手順

(1) A組の得点と $w$ の差の2乗の和 $\sum_{i=1}^m (x_i - w)^2$ を $\bar{x}, S_A^2, w$ を用いて表す。

分散の定義より、$S_A^2 = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (x_i - \bar{x})^2$ なので、

$\sum_{i=1}^m (x_i - \bar{x})^2 = mS_A^2$ となる。

$\sum_{i=1}^m (x_i - w)^2 = \sum_{i=1}^m (x_i - \bar{x} + \bar{x} - w)^2 = \sum_{i=1}^m ((x_i - \bar{x})^2 + 2(x_i - \bar{x})(\bar{x} - w) + (\bar{x} - w)^2)$

$= \sum_{i=1}^m (x_i - \bar{x})^2 + 2(\bar{x} - w) \sum_{i=1}^m (x_i - \bar{x}) + \sum_{i=1}^m (\bar{x} - w)^2$

ここで $\sum_{i=1}^m (x_i - \bar{x}) = 0$ であり、

$\sum_{i=1}^m (x_i - w)^2 = \sum_{i=1}^m (x_i - \bar{x})^2 + m(\bar{x} - w)^2 = mS_A^2 + m(\bar{x} - w)^2$

(2) $S^2$ を $m, n, S_A^2, S_B^2, \bar{x}, \bar{y}, w$ を用いて表す。

$(m+n)w = \sum_{i=1}^m x_i + \sum_{i=1}^n y_i = m\bar{x} + n\bar{y}$ より、$w = \frac{m\bar{x} + n\bar{y}}{m+n}$ となる。

$S^2 = \frac{1}{m+n} [\sum_{i=1}^m (x_i - w)^2 + \sum_{i=1}^n (y_i - w)^2]$

$= \frac{1}{m+n} [mS_A^2 + m(\bar{x}-w)^2 + nS_B^2 + n(\bar{y}-w)^2]$

$= \frac{mS_A^2 + nS_B^2 + m(\bar{x}-w)^2 + n(\bar{y}-w)^2}{m+n}$

3. 最終的な答え

ア：2

イ：0