1点のカードが30枚、2点のカードが20枚、3点のカードが10枚ある。この60枚のカードを母集団とし、カードの点数を$X$とするとき、母平均$m$、母分散$\sigma^2$、母標準偏差$\sigma$を求める。

1. 問題の内容

1点のカードが30枚、2点のカードが20枚、3点のカードが10枚ある。この60枚のカードを母集団とし、カードの点数を$X$とするとき、母平均$m$、母分散$\sigma^2$、母標準偏差$\sigma$を求める。

2. 解き方の手順

まず、確率変数$X$の確率分布を求めます。

$X$が1となる確率は$P(X=1) = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$

$X$が2となる確率は$P(X=2) = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$

$X$が3となる確率は$P(X=3) = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$

次に、母平均$m$を求めます。

$m = E(X) = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$m = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3+4+3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

次に、母分散$\sigma^2$を求めます。

$\sigma^2 = E(X^2) - (E(X))^2$

$E(X^2) = 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) + 3^2 \times P(X=3)$

$E(X^2) = 1 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{3} + 9 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{3+8+9}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

$\sigma^2 = \frac{10}{3} - (\frac{5}{3})^2 = \frac{10}{3} - \frac{25}{9} = \frac{30-25}{9} = \frac{5}{9}$

最後に、母標準偏差$\sigma$を求めます。

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

母平均 $m = \frac{5}{3}$

母分散 $\sigma^2 = \frac{5}{9}$

母標準偏差 $\sigma = \frac{\sqrt{5}}{3}$