母平均 $170$ 、母標準偏差 $8$ の母集団から、大きさ $196$ の標本を無作為抽出する。標本平均を $\bar{X}$ とするとき、$\bar{X}$ が $169$ 以上 $171$ 以下となる確率を求める。

1. 問題の内容

母平均 $170$ 、母標準偏差 $8$ の母集団から、大きさ $196$ の標本を無作為抽出する。標本平均を $\bar{X}$ とするとき、$\bar{X}$ が $169$ 以上 $171$ 以下となる確率を求める。

2. 解き方の手順

標本平均 $\bar{X}$ は、平均 $170$、標準偏差 $\frac{8}{\sqrt{196}} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$ の正規分布に従う。

$Z = \frac{\bar{X} - 170}{4/7}$ と変換すると、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

$\bar{X} = 169$ のとき、$Z = \frac{169 - 170}{4/7} = \frac{-1}{4/7} = -\frac{7}{4} = -1.75$

$\bar{X} = 171$ のとき、$Z = \frac{171 - 170}{4/7} = \frac{1}{4/7} = \frac{7}{4} = 1.75$

求める確率は、

$P(169 \leq \bar{X} \leq 171) = P(-1.75 \leq Z \leq 1.75)$

$= P(Z \leq 1.75) - P(Z \leq -1.75)$

$= P(Z \leq 1.75) - (1 - P(Z \leq 1.75))$

$= 2P(Z \leq 1.75) - 1$

標準正規分布表から、$P(Z \leq 1.75) = 0.9599$ である。

$2 \times 0.9599 - 1 = 1.9198 - 1 = 0.9198$

3. 最終的な答え

$0.9198$