帰無仮説 $H_0: p = p_0$、対立仮説 $H_1: p \neq p_0$ に対して、検定に利用する統計量 $Z = \frac{\bar{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ を用いて、両側検定を行う。有意水準が0.05であるとき、帰無仮説が棄却される条件を求める。

1. 問題の内容

帰無仮説 $H_0: p = p_0$、対立仮説 $H_1: p \neq p_0$ に対して、検定に利用する統計量 $Z = \frac{\bar{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ を用いて、両側検定を行う。有意水準が0.05であるとき、帰無仮説が棄却される条件を求める。

2. 解き方の手順

両側検定であるため、有意水準 $\alpha = 0.05$ を両側で分割する。つまり、片側あたり $\alpha/2 = 0.05/2 = 0.025$ となる。

標準正規分布において、有意水準 $\alpha/2 = 0.025$ に対応する $z$ 値を求める。これは、標準正規分布表または関数電卓を用いて求めることができ、$z_{0.025} \approx 1.96$ となる。

したがって、帰無仮説が棄却される条件は、$|Z| > z_{0.025}$、つまり $|Z| > 1.96$ である。

3. 最終的な答え

$|Z| > 1.96$