一つのサイコロを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定める。ルールAに従って、k回目の得点を求める。 ルールA: (i) k回目に初めて1の目が出たとき、得点は7点。 (ii) (i)のとき以外は、k回に出た目の数を得点とする。 問題は、1回目、2回目、3回目の得点に関する確率、条件付き確率、および1回目の得点の期待値を求めるものである。

1. 問題の内容

一つのサイコロを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定める。ルールAに従って、k回目の得点を求める。

ルールA:

(i) k回目に初めて1の目が出たとき、得点は7点。

(ii) (i)のとき以外は、k回に出た目の数を得点とする。

問題は、1回目、2回目、3回目の得点に関する確率、条件付き確率、および1回目の得点の期待値を求めるものである。

2. 解き方の手順

(1) 1回目の得点について

* 1回目の得点が7点である確率: 1回目に初めて1が出る確率なので、$\frac{1}{6}$

* 1回目の得点が4点以上である確率: 4, 5, 6のいずれかが出る確率なので、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

* 1回目の得点の期待値:

* 1が出る確率: $\frac{1}{6}$、このとき得点は7点

* 2が出る確率: $\frac{1}{6}$、このとき得点は2点

* 3が出る確率: $\frac{1}{6}$、このとき得点は3点

* 4が出る確率: $\frac{1}{6}$、このとき得点は4点

* 5が出る確率: $\frac{1}{6}$、このとき得点は5点

* 6が出る確率: $\frac{1}{6}$、このとき得点は6点

期待値 $= 7 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{7+2+3+4+5+6}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

(2) 2回目の得点について

* 2回目の得点が7点である確率: 1回目に1以外が出て、2回目に初めて1が出る確率なので、$\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$

* 2回目の得点が1点である確率: 1回目に1以外が出て、2回目に1が出る以外で2回目に1が出る確率なので、1回目に1が出たとき、2回目の得点は1,2,3,4,5,6のいずれか。1回目に1以外の目が出たとき、2回目の得点は1。よって確率は、$\frac{5}{6} * \frac{1}{6}= \frac{5}{36}$

(3) 3回目の得点について

* 3回目の得点が1点である確率: 1, 2回目に1以外の目が出て、3回目に1の目が出る確率 $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$

(4) 条件付き確率

* 3回目の得点が1点であったとき、2回目の得点が7点である条件付き確率:

P(2回目の得点が7点 | 3回目の得点が1点) = P(2回目の得点が7点でかつ3回目の得点が1点) / P(3回目の得点が1点)

* 2回目の得点が7点である確率: $\frac{5}{36}$

* 3回目の得点が1点である確率: $\frac{25}{216}$

* 2回目の得点が7点でかつ3回目の得点が1点である確率:

1回目が1以外で、2回目が初めて1が出て、3回目が1である確率 = $\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{216}$

よって、求める条件付き確率は $\frac{5/216}{25/216} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

* 1回目の得点が7点である確率: $\frac{1}{6}$

* 1回目の得点が4点以上である確率: $\frac{1}{2}$

* 1回目の得点の期待値: $\frac{9}{2}$ (4.5)

* 2回目の得点が7点である確率: $\frac{5}{36}$

* 2回目の得点が1点である確率: $\frac{1}{6}$

* 3回目の得点が1点である確率: $\frac{25}{216}$

* 3回目の得点が1点であったとき、2回目の得点が7点である条件付き確率: $\frac{1}{5}$