## 問題の内容

## 問題の内容

確率変数 $X$ と $Y$ の同時確率分布が与えられています。

(a) 周辺確率分布 $P_X$ と $P_Y$ を求めます。

(b) 期待値 $E[X]$, $E[Y]$, $E[X+Y]$ を求めます。

(c) $X^2$ と $Y^2$ の同時確率分布表を作成します。

(d) $X$ と $Y$ が独立かどうかを判断し、理由を述べます。

(e) $X^2$ と $Y^2$ が独立かどうかを判断し、理由を述べます。

## 解き方の手順

(a) 周辺確率分布の計算:

周辺確率分布は、同時確率分布の行または列の和として計算されます。

$P_X(x) = \sum_y P(X=x, Y=y)$

$P_Y(y) = \sum_x P(X=x, Y=y)$

$P_X(-1) = \frac{3}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{9}{32}$

$P_X(0) = \frac{5}{32} + \frac{8}{32} + \frac{3}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

$P_X(1) = \frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} = \frac{7}{32}$

$P_Y(-1) = \frac{3}{32} + \frac{5}{32} + \frac{3}{32} = \frac{11}{32}$

$P_Y(0) = \frac{5}{32} + \frac{8}{32} + \frac{3}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

$P_Y(1) = \frac{1}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$

(b) 期待値の計算:

期待値は、確率変数の値とその確率の積の和として計算されます。

$E[X] = \sum_x x P_X(x)$

$E[Y] = \sum_y y P_Y(y)$

$E[X+Y] = E[X] + E[Y]$

$E[X] = (-1) \cdot \frac{9}{32} + (0) \cdot \frac{1}{2} + (1) \cdot \frac{7}{32} = -\frac{9}{32} + \frac{7}{32} = -\frac{2}{32} = -\frac{1}{16}$

$E[Y] = (-1) \cdot \frac{11}{32} + (0) \cdot \frac{1}{2} + (1) \cdot \frac{5}{32} = -\frac{11}{32} + \frac{5}{32} = -\frac{6}{32} = -\frac{3}{16}$

$E[X+Y] = E[X] + E[Y] = -\frac{1}{16} - \frac{3}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$

(c) $X^2$ と $Y^2$ の同時確率分布表:

$X^2$ と $Y^2$ の可能な値は 0 と 1 です。元の同時確率分布表から、各組み合わせの確率を計算します。

$P(X^2=0, Y^2=0) = P(X=0, Y=0) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

$P(X^2=0, Y^2=1) = P(X=0, Y=-1) + P(X=0, Y=1) = \frac{5}{32} + \frac{3}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

$P(X^2=1, Y^2=0) = P(X=-1, Y=0) + P(X=1, Y=0) = \frac{5}{32} + \frac{3}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

$P(X^2=1, Y^2=1) = P(X=-1, Y=-1) + P(X=-1, Y=1) + P(X=1, Y=-1) + P(X=1, Y=1) = \frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

| $X^2 \backslash Y^2$ | 0 | 1 |

|--------------------|-----|-----|

| 0 | 1/4 | 1/4 |

| 1 | 1/4 | 1/4 |

(d) $X$ と $Y$ の独立性:

$X$ と $Y$ が独立であるためには、すべての $x$ と $y$ について $P(X=x, Y=y) = P_X(x) P_Y(y)$ が成り立つ必要があります。

$P(X=-1, Y=-1) = \frac{3}{32}$

$P_X(-1)P_Y(-1) = \frac{9}{32} \cdot \frac{11}{32} = \frac{99}{1024}$

$\frac{3}{32} \neq \frac{99}{1024}$ なので、$X$ と $Y$ は独立ではありません。

(e) $X^2$ と $Y^2$ の独立性:

$X^2$ と $Y^2$ が独立であるためには、すべての $x^2$ と $y^2$ について $P(X^2=x^2, Y^2=y^2) = P_{X^2}(x^2) P_{Y^2}(y^2)$ が成り立つ必要があります。

$P_{X^2}(0) = P_X(0) = \frac{1}{2}$

$P_{X^2}(1) = P_X(-1) + P_X(1) = \frac{9}{32} + \frac{7}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

$P_{Y^2}(0) = P_Y(0) = \frac{1}{2}$

$P_{Y^2}(1) = P_Y(-1) + P_Y(1) = \frac{11}{32} + \frac{5}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

$P(X^2=0, Y^2=0) = \frac{1}{4}$

$P_{X^2}(0) P_{Y^2}(0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

他のすべての組み合わせについても同様に $P(X^2=x^2, Y^2=y^2) = P_{X^2}(x^2) P_{Y^2}(y^2) = \frac{1}{4}$が成立します。したがって、$X^2$ と $Y^2$ は独立です。

## 最終的な答え

(a)

$P_X(-1) = \frac{9}{32}$

$P_X(0) = \frac{1}{2}$

$P_X(1) = \frac{7}{32}$

$P_Y(-1) = \frac{11}{32}$

$P_Y(0) = \frac{1}{2}$

$P_Y(1) = \frac{5}{32}$

(b)

$E[X] = -\frac{1}{16}$

$E[Y] = -\frac{3}{16}$

$E[X+Y] = -\frac{1}{4}$

(c)

| $X^2 \backslash Y^2$ | 0 | 1 |

|--------------------|-----|-----|

| 0 | 1/4 | 1/4 |

| 1 | 1/4 | 1/4 |

(d) $X$ と $Y$ は独立ではない。理由は $P(X=x, Y=y) \neq P_X(x) P_Y(y)$ となる $(x,y)$ が存在するから。

(e) $X^2$ と $Y^2$ は独立である。理由は $P(X^2=x^2, Y^2=y^2) = P_{X^2}(x^2) P_{Y^2}(y^2)$ がすべての $x^2$ と $y^2$ について成り立つから。