母平均 $\mu$ に対する仮説検定を行う問題です。帰無仮説は $H_0: \mu = 95$、対立仮説は $H_1: \mu \neq 95$ です。標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{100} \sum_{k=1}^{100} X_k$ が与えられています。$H_0$ のもとで $\bar{X}$ の平均と分散を求め、$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma_0}$ が標準正規分布に従うことを利用して、有意水準を計算します。

1. 問題の内容

母平均 $\mu$ に対する仮説検定を行う問題です。帰無仮説は $H_0: \mu = 95$、対立仮説は $H_1: \mu \neq 95$ です。標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{100} \sum_{k=1}^{100} X_k$ が与えられています。$H_0$ のもとで $\bar{X}$ の平均と分散を求め、$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma_0}$ が標準正規分布に従うことを利用して、有意水準を計算します。

2. 解き方の手順

* **$\bar{X}$ の平均と分散**:

$H_0$ のもとで、母平均 $\mu_0 = 95$ です。標本平均 $\bar{X}$ の平均は母平均に等しいので、

$$E[\bar{X}] = \mu_0 = 95$$

標本平均 $\bar{X}$ の分散は、母分散を標本サイズで割ったものになります。ここでは、$\sigma_0$ は $\sigma/\sqrt{100}$なので、標本平均の分散は $\sigma_0^2 = \sigma^2/100$　と記述できます。

* **$P(|\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma_0}| > 1.65)$ の計算**:

$P(-1.65 < Z < 1.65) = 0.9$ なので、$P(|Z| > 1.65) = 1 - P(-1.65 < Z < 1.65) = 1 - 0.9 = 0.1$。

したがって、$P(|\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma_0}| > 1.65) = 0.1$。

* **有意水準の計算 ($\bar{x} = 93.0$)**:

$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma_0} = \frac{93 - 95}{\sigma_0} = \frac{-2}{\sigma_0}$。

$|Z| = |\frac{-2}{\sigma_0}|$ であり、$H_0$ が棄却されるための条件は $|Z| > 1.65$ です。

$\bar{x}=93$が与えられているので、$Z = \frac{93 - 95}{\sigma / \sqrt{100}} = \frac{-20}{\sigma}$。仮に$\sigma=1$だとすると、$|Z| = 20 > 1.65$ なので、$H_0$は有意水準$10\%$で棄却されます。もし問題文に分散あるいは標準偏差が与えられていない場合、$\sigma$に関する情報がないため、正確な$Z$値を求められず、$H_0$が棄却されるか判断することができません。

しかし、問題は$\bar{x}=93$のとき、**少なくとも有意水準10%で$H_0$が棄却されるか**という問題なので、$P(|\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma_0}| > 1.65) = 0.1$を用いて計算を続けます。$Z = \frac{93 - 95}{\sigma_0}$であり、$|Z|>1.65$となる確率を求めたいので、$P(Z < -1.65) + P(Z > 1.65) = 1-0.9 = 0.1$です。もし$Z$の実現値が$-1.65$より小さければ、$H_0$は棄却されます。

$Z=\frac{93-95}{\sigma_0}$を$-1.65$と比較します。

もし$\frac{93-95}{\sigma_0} < -1.65$であれば、$H_0$は棄却されます。

$-\frac{2}{\sigma_0} < -1.65$

$\frac{2}{\sigma_0} > 1.65$

$\sigma_0 < \frac{2}{1.65} \approx 1.21$

したがって$\sigma_0 < 1.21$　であるとき、$H_0$は少なくとも有意水準$10\%$で棄却されます。$\sigma_0$の情報がないため$H_0$が棄却されるかは不明ですが、少なくとも有意水準$10\%$で$H_0$が棄却される可能性があります。

* **有意水準の計算 (P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.95)**:

$P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.95$ なので、$P(|Z| > 1.96) = 1 - 0.95 = 0.05$。これは有意水準 5% に対応します。

$Z = \frac{93 - 95}{\sigma_0}$ であり、$|Z| > 1.96$ となるかどうかを調べます。仮に$\sigma=1$だとすると、$|Z| = 20 > 1.96$ なので、$H_0$は有意水準5%で棄却されます。

3. 最終的な答え

* $\mu_0 = 95$

* $\sigma_0^2 = \sigma^2/100$ (ただし$\sigma$は母集団の標準偏差)

* $P(|\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma_0}| > 1.65) = 0.1$

* 有意水準 $10\%$ で $H_0$ は 棄却される。

* $P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.95$ を用いて、同様の議論を行うと、$H_0$ は有意水準 $5\%$ で棄却される。