$\bar{x}_n$ を $n$ 個のデータの平均とする。このとき、次の漸化式が成り立つことを示す問題です。 $$ \bar{x}_{n+1} = \frac{n}{n+1}\bar{x}_n + \frac{1}{n+1}x_{n+1}, \quad n = 1, 2, \dots $$

1. 問題の内容

$\bar{x}_n$ を $n$ 個のデータの平均とする。このとき、次の漸化式が成り立つことを示す問題です。

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\bar{x}_{n+1} = \frac{n}{n+1}\bar{x}_n + \frac{1}{n+1}x_{n+1}, \quad n = 1, 2, \dots

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2. 解き方の手順

$\bar{x}_n$ は $n$ 個のデータ $x_1, x_2, \dots, x_n$ の平均なので、次のように表されます。

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\bar{x}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i

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同様に、$\bar{x}_{n+1}$ は $n+1$ 個のデータ $x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1}$ の平均なので、次のように表されます。

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\bar{x}_{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n+1} x_i

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$\sum_{i=1}^{n+1} x_i$ を $\sum_{i=1}^n x_i$ と $x_{n+1}$ に分割すると、

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\bar{x}_{n+1} = \frac{1}{n+1} \left( \sum_{i=1}^n x_i + x_{n+1} \right)

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$\bar{x}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ より、$\sum_{i=1}^n x_i = n \bar{x}_n$ なので、これを代入すると、

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\bar{x}_{n+1} = \frac{1}{n+1} \left( n \bar{x}_n + x_{n+1} \right)

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\bar{x}_{n+1} = \frac{n}{n+1} \bar{x}_n + \frac{1}{n+1} x_{n+1}

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したがって、与えられた漸化式が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

$\bar{x}_{n+1} = \frac{n}{n+1}\bar{x}_n + \frac{1}{n+1}x_{n+1}$